本文通过对《Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks》文章翻译和解读，和知乎、CSDN几位博主的文章总结、分析深度网络初始化方法。

首先是《Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks》

敲黑板：这里有一个发文章技巧，行不行有待验证大家应该感觉到一般的深度学习文章上来就是实验，告诉读者这个实验结果好，然后由实验结果再反向给出一些无从验证的可能对可能不对的原因。而这篇文章虽然整体来看比较简单，但结构非常严谨：首先通过实验分析标准初始化方法的问题；然后根据两个目标——状态方差和梯度方差保持不变推导出参数的特点，给出Xavier初始化方法的具体形式；最后通过实验验证Xavier初始化的效果确实不错。

总结发文章方法：

• 实验
• 告诉读者实验结果好
• 由结果反正无从验证的可能对与不对的原因，设立目标
• 根据目标验证猜想效果不错

下面之说一下我认为的重点：

分析的前提：

• 1. 网络在初始化处于线性条件下，即激活活函数的导数为1；
• 2. 初始化的权值的mean 为0，且独立同分布的；
• 3.输入特征 x 的 variance是相同的。经过一系列推导，得到了下面这样的结果：
  第一：
  第二：公式5有用哦：

第三：公式6有用；

推出这玩意来了以后呢， 下面是关键：

1.前向传播：用文中的话说：From a forward-propagation point of view, to keep information flowing we would like that：推出这玩意来了以后呢， 下面是关键：

1.前向传播：用文中的话说：From a forward-propagation point of view, to keep information flowing we would like that：

就是说，为了在前向传播过程中，可以让信息向前传播，做法就是让：激活单元的输出值的方差持不变。为什么要这样呢？？有点小不理解。。

2. 反向传播：在反向传播过程中，也是为了让梯度可以反向传播，让：对激活单元输入值的梯度 保持不变，即：
   最后得到的结论就是：

上面两个式子折衷一下，为：

所以呢，权值初始化时，服从这样的分布：

这个方法就叫做： normalized initialization.

在训练过程中，梯度问题：

这时，我们就不能单纯地用梯度的 variance 去分析了，因为已经不满足我们的假设条件了啊。

文章后面的一大堆基本没有什么重点的东西了吧，我觉得。写几个觉得有必要的总结吧:

1. softsign激活函数与双曲正切函数相比，效果还 很不错的，

2. normalized initialization 的方法很不错。

初始化比较

• 把w初始化为0
• 对w随机初始化
• Xavier initialization
• He initialization

1.把w初始化为0

我们在线性回归，logistics回归的时候，基本上都是把参数初始化为0，我们的模型也能够很好的工作。然后在神经网络中，把w初始化为0是不可以的。这是因为如果把w初始化0，那么每一层的神经元学到的东西都是一样的（输出是一样的），而且在bp的时候，每一层内的神经元也是相同的，因为他们的gradient相同。下面用一段代码来演示，当把w初始化为0：

def initialize_parameters_zeros(layers_dims):    """    Arguments:    layer_dims -- python array (list) containing the size of each layer.    Returns:    parameters -- python dictionary containing your parameters "W1", "b1", ..., "WL", "bL":                    W1 -- weight matrix of shape (layers_dims[1], layers_dims[0])                    b1 -- bias vector of shape (layers_dims[1], 1)                    ...                    WL -- weight matrix of shape (layers_dims[L], layers_dims[L-1])                    bL -- bias vector of shape (layers_dims[L], 1)    """    parameters = {}    np.random.seed(3)    L = len(layers_dims)  # number of layers in the network    for l in range(1, L):        parameters['W' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], layers_dims[l - 1]))        parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))    return parameters复制代码

我们可以看看cost function是如何变化的：

能够看到代价函数降到0.64（迭代1000次）后，再迭代已经不起什么作用了。

2.对w随机初始化

目前常用的就是随机初始化，即W随机初始化。随机初始化的代码如下：

def initialize_parameters_random(layers_dims):    """    Arguments:    layer_dims -- python array (list) containing the size of each layer.    Returns:    parameters -- python dictionary containing your parameters "W1", "b1", ..., "WL", "bL":                    W1 -- weight matrix of shape (layers_dims[1], layers_dims[0])                    b1 -- bias vector of shape (layers_dims[1], 1)                    ...                    WL -- weight matrix of shape (layers_dims[L], layers_dims[L-1])                    bL -- bias vector of shape (layers_dims[L], 1)    """    np.random.seed(3)  # This seed makes sure your "random" numbers will be the as ours    parameters = {}    L = len(layers_dims)  # integer representing the number of layers    for l in range(1, L):        parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1])*0.01        parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))    return parameters复制代码

乘0.01是因为要把W随机初始化到一个相对较小的值，因为如果X很大的话，W又相对较大，会导致Z非常大，这样如果激活函数是sigmoid，就会导致sigmoid的输出值1或者0，然后会导致一系列问题（比如cost function计算的时候，log里是0，这样会有点麻烦）。

随机初始化后，cost function随着迭代次数的变化示意图为：

能够看出，cost function的变化是比较正常的。但是随机初始化也有缺点，np.random.randn()其实是一个均值为0，方差为1的高斯分布中采样。当神经网络的层数增多时，会发现越往后面的层的激活函数（使用tanH）的输出值几乎都接近于0，如下图所示：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef initialize_parameters(layer_dims):    """    :param layer_dims: list,每一层单元的个数（维度）    :return:dictionary,存储参数w1,w2,...,wL,b1,...,bL    """    np.random.seed(3)    L = len(layer_dims)#the number of layers in the network    parameters = {}    for l in range(1,L):        parameters["W" + str(l)] = np.random.randn(layer_dims[l],layer_dims[l-1])*0.01        parameters["b" + str(l)] = np.zeros((layer_dims[l],1))    return parametersdef forward_propagation():    data = np.random.randn(1000, 100000)    # layer_sizes = [100 - 10 * i for i in range(0,5)]    layer_sizes = [1000,800,500,300,200,100,10]    num_layers = len(layer_sizes)    parameters = initialize_parameters(layer_sizes)    A = data    for l in range(1,num_layers):        A_pre = A        W = parameters["W" + str(l)]        b = parameters["b" + str(l)]        z = np.dot(W,A_pre) + b #计算z = wx + b        A = np.tanh(z)        #画图        plt.subplot(2,3,l)        plt.hist(A.flatten(),facecolor='g')        plt.xlim([-1,1])        plt.yticks([])    plt.show()复制代码

3.Xavier initialization Xavier initialization是 Glorot 等人为了解决随机初始化的问题提出来的另一种初始化方法，他们的思想倒也简单，就是尽可能的让输入和输出服从相同的分布，这样就能够避免后面层的激活函数的输出值趋向于0。他们的初始化方法为：

def initialize_parameters_he(layers_dims):    """    Arguments:    layer_dims -- python array (list) containing the size of each layer.    Returns:    parameters -- python dictionary containing your parameters "W1", "b1", ..., "WL", "bL":                    W1 -- weight matrix of shape (layers_dims[1], layers_dims[0])                    b1 -- bias vector of shape (layers_dims[1], 1)                    ...                    WL -- weight matrix of shape (layers_dims[L], layers_dims[L-1])                    bL -- bias vector of shape (layers_dims[L], 1)    """    np.random.seed(3)    parameters = {}    L = len(layers_dims)  # integer representing the number of layers    for l in range(1, L):        parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * np.sqrt(1 / layers_dims[l - 1])        parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))    return parameters复制代码

来看下Xavier initialization后每层的激活函数输出值的分布：

能够看出，深层的激活函数输出值还是非常漂亮的服从标准高斯分布。虽然Xavier initialization能够很好的 tanH 激活函数，但是对于目前神经网络中最常用的ReLU激活函数，还是无能能力，请看下图：

4.He initialization

为了解决上面的问题，提出了一种针对ReLU的初始化方法，一般称作 He initialization。初始化方式为：

def initialize_parameters_he(layers_dims):    """    Arguments:    layer_dims -- python array (list) containing the size of each layer.    Returns:    parameters -- python dictionary containing your parameters "W1", "b1", ..., "WL", "bL":                    W1 -- weight matrix of shape (layers_dims[1], layers_dims[0])                    b1 -- bias vector of shape (layers_dims[1], 1)                    ...                    WL -- weight matrix of shape (layers_dims[L], layers_dims[L-1])                    bL -- bias vector of shape (layers_dims[L], 1)    """    np.random.seed(3)    parameters = {}    L = len(layers_dims)  # integer representing the number of layers    for l in range(1, L):        parameters['W' + str(l)] = np.random.randn(layers_dims[l], layers_dims[l - 1]) * np.sqrt(2 / layers_dims[l - 1])        parameters['b' + str(l)] = np.zeros((layers_dims[l], 1))    return parameters复制代码

来看看经过He initialization后，当隐藏层使用ReLU时，激活函数的输出值的分布情况：

全文（废话）总结：

1.激活函数：

tanh、softsign好于sigmoid用

初始化 2.rule： 用He initialization初始化

感谢

参考文献

1. Xavier Glorot et al., Understanding the Difficult of Training Deep Feedforward Neural Networks
2. Kaiming He et al., Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classfication
3. Andrew ng coursera 《deep learning》课
4. 夏飞 《聊一聊深度学习的weight initialization》
   5.
   6.